Auf verschieden großen Schachbrettern werden Figuren einer Farbe so gesetzt, daß alle besetzten und unbesetzten Felder genau einmal angegriffen sind.

Es gibt insgesamt 27 verschiedene Lösungen, und zwar zwei mit vier Schachfiguren, 6 mit fünf, 11 mit sechs, 4 mit sieben und 4 mit acht Figuren. Die zwei minimalen und eine der maximalen Aufstellungen:

Die mittlere mit den vier Läufern ist außerdem die einzige Lösung ohne Bauern.

Das 5*5 Brett ist ein wenig interessanter. Es gibt eine einzige Lösung mit 5 Figuren und überhaupt keine, die wie auch immer symmetrisch sind, und auch keine ohne Bauern. Von den insgesamt 16 Lösungen sind 4 mit sechs, eine mit sieben, 7 mit acht und 3 mit neun Figuren.

Das Bild zeigt die kleinste und größte Aufstellung. Bei der maximalen Anordnung gibt es noch fünf optionale Bauern auf der letzten Reihe, die keine Auswirkung auf Deckungen haben und deshalb vom Lösungsverfahren nicht gesetzt werden. Es ist Geschmackssache, ob man sie mitzählen möchte oder nicht. Hier die Liste aller Lösungen .

Auf dem 6*6 Brett wird es schon turbulenter. Die kleinste Anordnung ist mit acht Figuren auf drei verschiedene Weisen möglich, die allerdings einander recht ähnlich sind.

Wie bei der Beschreibung des Algorithmus erläutert, werden keine durch Läufer ersetzbaren Bauern auf der ersten Reihe gezählt, andernfalls gäbe es weitere Lösungen. Die Anordnung links ist auch die einzig mögliche ohne Bauern. Die weitere Verteilung der verschiedenen Anordnungen verhält sich so:

Gesamtzahl: 295, davon 24 symmetrisch
Liste aller Lösungen

Eine schöne symmetrische Maximalanordnung mit 18 Figuren ist im nächsten Bild zu sehen, wobei wiederum sechs optionale aber bedeutungslose Bauern zusätzlich gesetzt werden können.

Die Bretter mit ungerader Zahl haben offenbar deutlich weniger Lösungen als die geradzahligen. Auch auf dem 7*7 Brett gibt es ohne Bauern keine Auflösung. Die minimale Figurenzahl ist zehn mit diesen zwei Varianten:

Gesamtzahl: 139, davon 8 symmetrisch
Liste aller Lösungen

Nun sind wir bei der klassischen Schachbrettgröße angelangt. Es gibt wie beim 7*7 Brett keine Anordnung ohne Bauern. Weiterhin gibt es keine einzige, welche eine Dame enthält. Die minimale Anordnung braucht 12 Figuren und es gibt zwei davon.

Bei der ersten Stellung sind die Läufer auf a1 und h1 mit den Bauern auf den gleichen Positionen austauschbar und deshalb wird diese nur als eine Lösung gezählt.

Gesamtzahl: 353, davon 39 symmetrisch
Liste aller Lösungen

Dies Bild zeigt zwei ausgewählte symmetrische Lösungen.

Dieses ist eine Anordung mit 19 Figuren. Es ist die mit den wenigsten, die nach 1200+ Stunden CPU gefunden wurde.

Noch zu erforschen.

Mit größeren Brettern verläßt man bald die Region, die das vollständige Ausrechnen aller Lösungen zuläßt. Es gibt jedoch Anordnungsstrukturen, die sich auf größere Brettern übertragen lassen. Die Konstellation mit Türmen und Bauern im Bild oben links läßt sich wie folgt erweitern:

Mit dieser Methode läßt sich eine Anordnung mit einfacher Deckung für alle rechteckigen Bretter mit 2 + n * 6 Spalten konstruieren. Durch eine dreispaltige Ergänzung auf einer Seite lassen sich die Lösungen auf 2 + n * 3 Spalten erweitern, wenn genug Reihen vorhanden sind.

Mit der folgenden Konstruktion lassen sich Lösungen für alle Rechtecke mit sieben Spalten bilden. Der mittlere Teil ist beliebig oft wiederholbar und eine der drei oberen Abschlüsse ergänzt zu der gewünschten Zahl an Reihen. Die beiden Turmreihen können übrigens an jeder Stelle zwischen den Blöcken eingeschoben werden. Eine Variation entsteht noch, wenn der dreireihige Abschluß fortgelassen wird. Es ist zu vermuten, daß diese Lösungen für die jeweiligen Rechtecke auch minimal sind.

Eine weitere Art der Konstruktion liefert ebenso Lösungen für alle Rechtecke mit sieben Spalten, allerdings mit mehr Figuren. Variationen enstehen, wenn die Türme unten gesetzt werden, eine leere Reihe unterhalb der Könige eingefügt wird oder beides. Weiterhin kann man das Muster mit König, Läufer und Bauern auch oberhalb oder unterhalb der Türme einmal oder auch mehrfach und in verschiedenen Größen setzen. Dies ist ähnlich der dreispaltigen Ergänzung in der ersten Konstruktion.

Wenn die beiden Türmen auf einer Reihe nebeneinander angeordnet werden, erhält man durch eine sehr ähnliche Konstruktion Lösungen für alle Rechtecke mit acht Spalten. Durch komplettes Weglassen der Türmen bilden sich Rechtecke mit sechs Spalten. Dies funktioniert mit beiden beschriebenen Konstruktionen, da die Turmreihen eine völlig unabhängige Ergänzung sind. Ein Beispiel ist die oben gezeigte Lösung für das 8*8 Brett.

Gibt es mehr erweiterbare Lösungen ?

Hier die Anfangsserie der minimalen rechteckigen 3*n-Bretter:

Aus den Anordnungen 3*8 und 3*16 lassen sich generische Lösungen für die Spaltenzahlen (8|9|10)+a*6 ableiten. Denn die blau markierten Blöcke aus zwei Türmen und zwei Läufern lassen sich mehrfach aneinander reihen. Da diese Lösungen keine Bauern enthalten, gelten diese natürlich auch für n*3-Rechtecke. Die Anordnumg 3*14 zeigt darüber hinaus eine Erweiterung des Läuferblocks um zwei Bauern und zwei weitere Läufer und somit um vier Spalten. Also ist ab einer genügend großen Anzahl von Spalten jedes 3*n Rechteck mit diesem Muster lösbar. Mit großer Wahrscheinlichkeit sind alle diese Lösungen auch minimal.

Obwohl alle Lösungen ohne Bauern sowohl Lösungen der horizontalen als auch der vertikalen Stellung sind, haben die beiden Probleme recht verschiedene Eigenschaften. So hat den das 5*3 Rechteck eine minimale Lösung mit nur drei Figuren, während das 3*5 vier Figuren benötigt.

Auch bei der Anzahl der Lösungen zeigen sich drastische Unterschiede. Die Lösungszahlen der n*3 Rechtecke sind offenbar eine recht genau eine ansteigende Folge, welche sich bei jedem Schritt vervierfacht. Das nachfolgende Diagramm mit logarithmischer Skalierung zeigt die sehr anschaulich.

Das folgende Bild zeigt einige minimale Lösungen für rechteckige 4*n-Bretter:

Wie man unschwer erkennen kann, lassen sich diese Lösungen für n*4 Bretter für alle weiteren n erweitern.

Auch für diese diamantartige Brettform gibt es Lösungen. Die minimale Anordnung mit drei Treppen ist aus den 104 Lösungen ausgesucht, die mit 4 Stufen aus 1334 und die mit 5 aus insgesamt 49.452 verschiedenen Lösungen ausgewählt.

Hier die minimalen Anordnungen der Dreiecksform:

Impressum