Die Drachen, von denen hier die Rede ist, sind über eine Diagonale spiegelsymmetrische Vierecke. Eine schöne Darstellung ihrer grundlegenden Eigenschaften findet sich in den [Math] Mathematische Basteleien. Die Drachen entstehen immer aus einem Dreieck, welches man es an einer der Seiten spiegelt und dann zusammensetzt. Ein relativ harmloser Drachen entsteht aus einem halben gleichseitgen Dreieck, auch als 30°-60°-90°-Dreieck bekannt, durch besagte Spiegelung. Das Längenverhältnis der Seiten des Dreiecks ist 1:2:√3.
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Die Drachen werden deshalb harmlos genannt, weil sie in jeder Lage konform zum zum Dreieckgitter sind. Die Eckpunkte der Drachen fallen immer auf Eck- oder Mittenpunkte des Gitters, wenn man sie mit den Kanten aneinander legt. Die 15 verschiedenen Figuren aus fünf 30°-60°-90°-Dreiecken ergeben ein interessantes Puzzel. Die obige Lösung eines Sechsecks mit diesen Figuren zeigt wie die Drachen in dem Gitter aufgehen. |
Ein ziemlich widerbostiger Drachen entsteht aus rechtwinkligen Dreiecken mit dem Seitenverhältnis 1:2:√5, wenn diese mit der langen Seite verbunden werden. Die Idee dazu ist mit zuerst in [Puzzle] Zucca begegnet, wo Figuren aus solchen Dreiecken PolyDoms genannt werden. Dort wird beschrieben, dass die Eckpunkte dieser Drachen das zugrunde liegende Quadratgitter verlassen und in ein zum Basisgitter um λ = atan(¾) geneigten zweiten Gitter übergehen. Das führt zu allerlei Komplikationen, die es bei anderen Puzzeln nicht gibt. Es lassen sich dennoch geschlossene Überdeckungen mit PolyDoms finden, die sich allerdings der systematischen Berechnung nicht so einfach erschließen. Die 13 aus jeweils zwei 1:2-Dreiecken bildbaren DiDoms werden im folgenden genauer untersucht. Ein Zwölfeck läßt sich mit einem doppelten Satz DiDoms ausfüllen. Eine der Lösungen wird schon in [2] gezeigt und hat mich zu weiteren Überlegungen inspiriert.
Die möglichen Bereiche, die das zweite Gitter belegen kann, zeigen die beiden Bilder. Dabei fällt auf, dass sich die Bereiche aus Segmenten der Fläche fünf aufbauen lassen. Die Segmente 1 bis 6 oder 7 bis 10 lassen sich jeweils miteinander kombinieren.
Zum systematischen Auffinden aller Lösungen mit Dom basierten Figuren ist ein schrittweises Vorgehen erfordlich. Ich nenne das eine Mehrstufenrakete. Die Methode ist grundsätzlich für alle Puzzel verallgemeinerbar, deren Figuren Gitterübergänge erzeugen. Es zeigt sich dabei eine erstaunliche Komplexität der Struktur dieser Art von Puzzel.
| 1 | Man finde zunächst alle Möglichkeiten, weitere um den Winkel λ oder -λ gedrehte Teilgitter in die Basisform einzubetten. Die kleinsten bildbaren Segmente solcher Teilgitter haben die Fläche fünf, wenn sie vollständig umschlossen sind. Welche Segmente überhaupt sinnvoll sind, hängt auch von den verwendeten Figuren ab. Es können durchaus mehrere nicht zusammenhängende sekundäre Gitter auftreten, wenn die primäre Fläche groß genug ist. Segmente können am Rand der Formen liegen und dort auch unvollständig sein. In diesem Fall ist die Grenze des sekundären Gitters nicht mehr ringförmig, sondern nur als Kette vorhanden. Die Enden der Kette liegen auf den Schnittpunkten der äußeren Form und den Gitterübergängen. |
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Läßt ein sekundäres Gitter von der Größe her zu, ein weiteres innen zu plazieren, kann es wiederum als primäres Gitter aufgefaßt werden um den vorigen Schritt zu wiederholen. Dieser Prozeß läßt sich rekursiv fortsetzen, findet aber immer ein Ende, da die inneren Gitter notwendigerweise immer kleiner und kleiner werden. Auf diese Weise entsteht ein Baum von Drachenringformationen, wobei jedes Blatt dieses Baums ein Ausgangspunkt für die Suche nach Lösungen mit dem Logelium ist. Jeder Drachenring oder Kette ist um n * λ gegen das Basisgitter gedreht, wobei n eine positive oder negative ganze Zahl ist. |
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Die Positionierung der Drachen ist für die Suche der Lösungen kritisch. Die Drachen können nur auf den Kanten liegen, die verschiedene Gitter voneineinder trennen. Darüber hinaus haben die Drachen immer die gleiche Orientierung, d.h. die Spitzen der Drachen zeigen auf dem Ring der Kanten immer gegen oder im Uhrzeigersinn. Dabei wird bei mehreren Ringen jeder einzeln betrachtet. Alle Figuren, die keine Drachen sind oder enthalten, müssen vollständig in einem der Teilgitter liegen. Nur die Drachen überschreiten die Gittergrenzen. |
| 4 | Wenn man nun die Drachen fortläßt, zerfällt die Form in mehrere getrennte Teile. Nachdem diese in eine gitterkonforme Lage gedreht worden sind, kann das so umgeformte Puzzel mit Standardmethoden gelöst werden. Alle Teile ergeben dann zusammen mit den Drachen die komplette Lösung für jeweils eine Ringkonstellation. |
Für DiDom Figuren werden unter DiDom Drachenringe eine Vielzahl von Ringanordungen gezeigt, die das Verfahren illustrieren.
Die Struktur der Gitter und Drachenringe für den Fall des Zwölfecks mit DiDoms recht einfach.
ad 1: Die Punkte der gedrehten Gitter sind zum besseren Verständnis blau markiert. Unter Berücksichtigung
der achtfachen Symmetrie gibt es zehn passende Segmente. Segment 4 und 5 sind nicht verwendbar, da sie Bereiche abschneiden,
die sich nicht durch DiDoms füllen lassen. Weil die Fläche der Didoms jeweils gleich zwei ist, kommen nur gerade
Anzahlen von Segmenten in Frage, also Segment 1+3 oder 1+6 oder 2+3. Die Segmente 1+2+3+6 sind nicht brauchbar, da oben
eine ungerade Fläche abgeschnitten wird.
Von den Segmentpaaren 7+8, 7+9, 8+10 und 9+10 wird wegen der Symmetrie nur eines benötigt. Die Kombination 7+8+9+10
ist die einzige mögliche mit vier Segmenten.
ad 2: Im obigen Fall hat Segment 1+3 daher 10 verschiedene Drachenpositionen und die beiden anderen Segmentpaare haben jeweils 15.
Für die folgende Position der Drachen gibt es genau zwei Lösungen, die sich geringfügig unterscheiden.
Für alle anderen 9 möglichen Positionen der Drachen mit den gleichen Segmenten gibt es leider keine Lösungen.
Diese Drachenposition mit den Segmenten 3+6 hat 96 Lösungen, die alle den gleichen inneren Teil haben.
Alle anderen Kombinationen von Segmenten haben keine Lösungen. Damit ist die Suche nach Lösungen mit DiDoms für das Zwölfeck beendet.
