Dieses erste Kapitel ist einem der herausragenden Denker des Altertums gewidmet, dessen Ideen bis in unsere Zeit wirksam sind. Er lebte 287 - 212 BC und endete tragisch durch sinnlose militärische Gewalt. Von seinen zahllosen mathematischen Einsichten und Konzepten will ich das Stomachion hier näher betrachten.

Das Stomachion ist das älteste bekannte Puzzel und mit einem Alter von über 2000 Jahren der Ururgroßvater aller Puzzel. Es besteht aus einer Anzahl von Drei- Vier- und Fünfecken, die sich zu einem Quadrat von 12 mal 12 Einheiten zusammensetzen lassen. Das Stomachion hat 536 verschiedene Lösungen, wenn man die Symmetrie beachtet . Für mich überraschend war, dass bis vor kurzem diese Zahl nur manuell ermittelt war und nun erst durch ein Computerprogramm bestätigt wurde (siehe z.B. [Wolfram] Stomachion).

Die Lösungen des Stomachion lassen sich mit dem Logelium ausrechnen, wenn man einige Vorüberlegungen anstellt. Die Tiefe des Suchbaums ist dann relativ gering und alle Lösungen sind schnell gefunden. Selbst auf meinem alten Laptop bedarf es nur weniger als einer Sekunde.

Das heißt keineswegs, dass das Stomachion trivial ist. Es enthält wie ich meine ganz im Gegenteil eine Fülle von unentdeckten oder zumindest unbeachteten Aspekten. Vielleicht habe ich einiges auch nur für mich selbst entdeckt, was schon lange bekannt war. Den Spaß daran macht das aber nicht geringer.

Um die ganze Sache mit dem Stomachion des Archimedes zu vereinfachen, ist zunächst wichtig zu verstehen, dass die beiden Teilstücke der Figur A immer zusammengebunden auftreten müssen. Der Grund liegt darin, dass das kleine Teildreieck ein Kathetenverhältnis von 2:3 aufweist und somit den irrationalen Winkel arctan(2/3) = 33°,69006… enthält. Die meisten Figuren enthalten jedoch den Winkel arctan(½) = 26°,56505…, welcher zwischen der Diagonale und der Grundlinie von zwei Quadraten besteht. Auch dieser Winkel ist irrational und wird im folgenden »λ« genannt. Da aber an allen Eckpunkten, wo Figuren oder Umgebung zusammenstoßen, die Winkelsumme 360° ergeben muß, ist dies mit nur mit kompensierenden λ-Winkeln möglich. Mit anderen irrationalen Summanden ist das Ergebnis niemals ganzzahlig. Eine ähnliche Überlegung gilt auch für die Figuren B und C, die den Winkel arctan(¼) = 14°,03624… enthalten.

Nun können jeweils die beiden Teile von A und B verschmolzen werden, ohne dass es Auswirkungen auf die Anzahl der Lösungen hat. Im Falle der Figur C ergibt sich, dass diese Figur nun zweimal vorkommt. Damit teilt sich die Anzahl der Lösungen nochmals um zwei, wenn man dann beide als gleich ansieht. Es gibt also 268 Lösungen (PDF) des vereinfachten Stomachions. In allem folgenden werden diese Vereinfachungen als gegeben angesehen. Man kann jedoch leicht aus jeder Lösung irgendeiner Form aus Figuren des vereinfachten Stomachions wieder die zwei mit den unterschiedlichen C Figuren gewinnen, wenn man denn möchte.

Die Winkel an den Eckpunkten werden sehr schön durch die folgenden Bilder anschaulich gemacht:

Alle Figuren des vereinfachten Stomachions sind aus den Zellen X,Y,Z und Q aufgebaut, wobei die Zelle »Z« nur in der Spitze der Figur D vorkommt. Alle diese Zellen sind einzeln konform zu dem zu Grunde liegenden Quadratgitter, somit auch alle aus ihnen konform zusammengesetzten Figuren. Das Logelium definiert die Figuren auch genau als Komposition dieser Zellen, um sie dann für die Konfiguration des Stomachion zu verwenden.

Insbesondere an dem linken Bild sieht man, dass alle Ecken und Stützpunkte der Figuren auf Gitterpunkten liegen. Diese Eigenschaft haben alle Lösungen, was schon manchen verwundert hat. Diese Eigenschaft ist allerdings auch eine Voraussetzung dafür, dass alle Lösungen mit dem Logelium gefunden werden. Die Begründung dafür wird klarer, wenn man die Drachenringe verstanden hat (siehe [Logelium] Drachenringe).

Gäbe es Lösungen mit Figuren, deren Stützpunkte nicht im Gitter liegen, müssten diese Lösungen einen vollständigen Drachenring aus Zellen vom Typ »X« enthalten. Stützpunkte sind dabei alle markierten Punkte der Zellen Q,X,Y,Z. Da das Stomachion selbst keine Figuren hat, die Drachen enthalten, muss der Ring durch Halbdrachenpaare jeweils zweier Figuren gebildet werden. Das heißt jede Figur liegt entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb des Drachenrings. Da nun weiterhin nur eine Ringfläche von 30 oder 60 (B+D/F oder E+G+D/F oder H+C) in Frage kommt, sieht man leicht die Unmöglichkeit. Die Form ist einfach zu klein dafür und es sind zuwenige Figuren. Mit einer beliebig großen Anzahl der Stomachion Figuren lassen sich durchaus Drachenringe bilden, d.h. es ist prinzipiell nicht völlig unmöglich. Dies gilt auch für alle aus den Stomachion Figuren gebildeten konvexen Formen.

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