Die Fragestellung, welche konvexen Formen sich durch den doppelten DiDom Figurensatz überdecken lassen scheint recht einfach zu sein. Bei genauerer Betrachtung stellen sich doch vielfältige Schwierigkeiten in den Weg und es gibt sehr viel mehr Lösungen als ich zunächst dachte. Obwohl es Teilresultate gibt, bleibt die ursprüngliche Fragestellung ungelöst.

Der erste Ansatz ist die Ermittlung aller konvexen Formen der Fläche 52, die sich durch gitterkonforme Doms umschließen lassen. Ich nenne diese regulär, weil deren sämtliche Ecken und Stützpunkte im Grundgitter liegen. Diese lassen sich noch relativ einfach durch einen rekursiven Algorithmus ermitteln. Einige Beispiele für irreguläre konvexe Formen finden sich unter [Logelium] Mehr DiDom Drachenringe .

Im zweiten Schritt müssen für jede konvexe Form alle Drachenringe in allen Positionen gefunden werden, die sich in die Formen einpassen lassen (siehe hier einige Beispiele: [Logelium] DiDom Drachenringe). Die Ringe sind jeweils um den Winkel λ positiv oder negativ geneigt. Dabei können durchaus mehrere gleiche oder verschiedenen Ringe hineinpassen. Ist ein Ring groß genug, kann er noch einn weiteren enthalten. Dies führt zu einer erstaunlichen Vielfältigkeit, die durch die Sammlung an auftretenden Drachenringen illustriert wird.

Jede Form muß sich mit Drachen, Dominos und Doms füllen lassen, wenn es Lösungen mit dem DiDom Satz geben soll. Dies ist z.B. nicht für solche Formen gegeben, die eine ungerade Anzahl von Zellen besitzen. Zellen sind dabei alle Gitterquadrate, die ganz oder auch nur teilweise von der Form bedeckt sind.

Die folgende Grafik zeigt für eine beispielhafte Form die möglichen Positionen der Drachen, Doms und Dominos.

Um die Lösungen mit dem Logelium zu berechnen, muß für jede Form und Ringanordnung eine Datei zur Definition angelegt werden. Diese Dateien werden natürlich durch Skipte generiert, gelöst und ausgewertet. Die folgende Tabelle zeigt die zusammengefaßten Ergebnisse der gefundenen Lösungen

»Konvexe Formen« ist die gesamte Anzahl der regulären konvexen Formen, »Ung. Zellen« die Anzahl derer, die eine ungerade Anzahl von Zellen haben. Diese Anzahl muß immer gerade sein, sonst kann es selbst mit MonoDoms keine Lösungen geben. Für die Formen »Kein Ring« lassen sich überhaupt keine Ringe einsetzen, da sie zu schmal sind. Die Anzahl der Formen, für die es mindestens einen Drachenring mit Lösung gibt, wird in »Lösbar« genannt. Man sieht, dass sich die Lösungen auf relativ wenige Formen konzentrieren.

Die konvexen Formen lassen sich mit der Anzahl »Einfache Ringe« von einfachen Ringpositionen versehen, wovon dann »Einfache Lösung« die Anzahl der lösbaren Konstellationen angibt. Die Anzahl der untersuchten Kombinationen mit zwei Ringen gibt »Doppelte Ringe« an und »Doppelte Lösung« die Anzahl der lösbaren Kombinationen.

Die Anzahlen sind nicht um die symmetrischen Anordnungen bereinigt. Außerdem könnten doch noch ein paar ungewöhnliche Ringanordungen entwischt sein.

Da hier nicht alle Formen und Lösungen gezeigt werden können, habe ich aus jedem Dorf einen Hund ausgesucht.

Die angegebenen Anzahlen von Lösungen beziehen sich jeweils auf die gezeigte Anordnung von Drachenringen.

In dem 4*13-Rechteck lassen sich der einfache 1-2-Drachenring auf 36 Arten einsetzen. Läßt man alle fort, die sich durch Symmetrie ergeben, gibt es fünf verschiedene Positionen. Die Bilder zeigen die Ringe mit der Neigung +λ auf der linken Seite. Die gesamte Anzahl aller Lösungen mit den fünf Ringpositionen beträgt 1227 * 4.

		1175 Lösungen, alle mit den gleichen Drachenpositionen
			20 Lösungen 2 Drachenpositionen
			12 Lösungen 2 Drachenpositionen
			20 Lösungen 2 Drachenpositionen
		Keine Lösung

Dies ist eine der 38 lösbaren konvexen Fünfeckformen mit zwei von 25 Anordnungen von Drachenringen bei dieser Form, die Lösungen besitzen.

		161 Lösungen
		20 Lösungen

		Es gibt 81 * 2 Lösungen bei dieser symmetrischen Form und Ringanordnung. Es gibt noch 22 andere lösbare Ringanordnungen, dies ist jedoch die einzige voll symmetrische.
		Dieser Diamant hat 19 Lösungen.

		Dieses vollständig symmetrische Siebeneck mit zwei Drachenringen hat 12 * 2 Lösungen.
		Eine nicht sehr auffällige Form mit jedoch 40089 Lösungen.

		Ein Diamant mit 39 Lösungen.
		Mit 100 Lösungen eine schöne S-symmetrische Form.
		Hier gibt es einen guten Ausgangspunkt zur Konstruktion von irregulären Formen. (13 Lösungen)

Symmetrische Neunecke gibt es nur wenige. Dieses hat 27 Lösungen.

Eine feine Form mit drei Lösungen.

Lösbare Elfecke gibt es gar keine. Das einzige lösbare Zwölfeck ist ausfühlich in der Abhandlung [Logelium] Über Drachen beschrieben. Formen mit noch mehr Ecken gehen überhaupt nicht, wie man leicht sieht.

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